Un voyageur arrive sur le quai à l’instant du démarrage de son train, le voyageur qui se trouve à une distance d = 25m de la portière, court à la vitesse constate V1 = 24km/h.
Le train est animé d’un MRUV d’accélération constate a = 1,2 m/s².
1) Le voyageur pourra-t-il rattrapé le train ?
2) Dans le cas contraire à quelle distance minimale de la portière parviendra-t-il ?
1) Montrons si le voyageur pourra rattraper le train
Etablissons les équations horaires de chacun de ces mouvements
Pour le voyageur le mouvement est rectiligne uniforme alors : X1 = V × t + X0 (X0 = 0 ) ⇒ X1 = V × t .
Convertissons 24km/h en m/s : 24km /1h = 24×103m/3600 = 6,666 m/s = 6,67 m/s, alors X1 = 6,67t
Pour le train, le mouvement rectiligne uniformément accélérer pour cela : X2= 1/2at² + v0t+X0 or (v0 = 0 et X0 = d)
⇒ X2= 1/2at² + v0t ⇒ X2 = 0,5 × 1,2t² + 25 ⇒ X2 = 0,6t² + 25.
Condition de rattrapage, il faut que X1 = X2 ⇔ 6,67t = 0,6t² + 25. = 0,6t² - 6,67t + 25 = 0 d’où l'équation , déterminons delta D = (- 6,67)² - 4(0,6 ×25) = 44,35 - 60 < 0 alors pas de solution.
Conclusion : Le voyageur ne rattrapera pas le train
Calculons la distance minimale (y)
Y = X2 - X1 ⇒ Y = 0,6t² - 6,67t + 25 (E1) , cette distance sera minimale lorsque la vitesse sera nulle pour ce fait,
(Y)’= (0,6t² - 6,67t +25)’ = 1,2t - 6,67 = 0, dans ce cas 1,2t - 6,67 = 0 ⇒t = 6,67/1,2 = 5,56 s ⇒ t = 5,56 s
Remplaçons t dans (E1) nous obtenons
Y = 0,6(5,56)² - 6,67(5,56) + 25 = 43,54 - 37,08 = 6,85 m.
D’où
Y = 6,85 m