Soit f(x) définie par :
f(x) = x³ – 7x – 6
a) Trouvons les solutions possibles de f(x)
Factorisons f(x) par l’égalité des coefficients
Calculons f(-1)
f(-1) = (-1) 3 – 7(-1) – 6 = 0 donc x= - 1 est la première solution

Posons
f(x) = (x + 1)( ax2 + bx + c) développons, on aura
f(x) = ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c = ax³ + x² (b + a) + x(c + b) + c
f(x) = ax³ + x² (b + a) + x(c + b) + c ; comme f(x) = f(x) on a :
x³ – 7x – 6 = ax³ + x² (b + a) + x(c + b) + c =;
x³ = ax³ ⇒ a = 1
x² (b + a) = 0 ⇒ b + a ⇒ b = - a = -1
– 6 = c d’où on obtient f(x) = (x + 1)( x² - x - 6)
Posons h (x) = ( x² - x - 6)
Calculons h (3) = 3² - 3 - 6 = 0 donc x = 3 est la deuxième solution
h (x) = ( x – 3 )(ax + b) par développement on obtient :
h (x) = ax² + b x -3ax – 3b ⇒ ax² + x (b -3a) - 3b
Comme h (x) = h (x) =; x² - x - 6 = ax² + x (b -3a) - 3b ⇒
x² = ax² ⇒ a = 1
x (b -3a) = - x ⇒ b -3a = - 1 ⇒ b = 3(1) – 1 = 2
d’où on obtient h (x) = ( x – 3 )(x +2)
donc f(x) = (x + 1) ( x – 3 )(x +2) = x³ – 7x – 6
x= -1 ; x=3 ; x = -2

b) Tableau de variation

Etudions les variations de f(x)
Quel que soit x appartenant ]-∞ ; - 2[U]-1 ; 3[ ; f(x)< 0
Quel que soit x appartenant ] – 2 ; - 1[U]3 ; ∞ + [ ; f(x) > 0