Soit une fonction g(x) = f(x)’ + 4x; avec f(x) = x3 – 7x – 6
a) Calculer g(x). On écrira le résultat sous la forme g(x) = ax2 + bx + c
b) Trouver les solutions possibles de g(x). On les notera x1 et x2, avec x1 > x2
c) Etudier les variations de g(x)
a) Calculons g(x)
Calculons d’abord f(x)’
f(x)’ = (x3 – 7x – 6)’ = 3x² - 7 alors g(x) = 3x² - 7 + 4x
d’où g(x) = 3x² + 4x – 7
b) Trouvons les solutions possibles de g(x)
Calculons g(1)
g(1) = 3(1) ² + 4(1) – 7 = 0 ; donc x = 1 est la première solution
g(x) = (x - 1)(ax + b) par développement g(x) = ax² + bx – ax – b ⇒
g(x) = ax² + x ( b – a ) – b ; comme g(x) = g(x) = ;
3x² + 4x – 7 = ax² + x ( b – a ) – b ⇒
3x² = ax² = a = 3
x ( b – a ) = 4x ⇒ b – a = 4 ⇒ b = 7
d’où on obtient g (x) = (x - 1)(3x + 7)
x – 1 = 0 ⇒ x = 1 et 3x + 7 = 0 ⇒ x = -7/3 = -2,3
d’où les racines : x1= 1 est x2 = -2,33
c) Etudions les variations de f(x)
Tableau
Quel que soit x appartenant ]-∞ ; -2,33[U]3 ; ∞+[ g(x) > 0
Quel que soit x appartenant ]-2,33 ; 3[ g(x)< 0