Déterminons la fonction affine des différentes images
f(2) = 4/3 ⇒ x1 = 2 ; f(x1) = 4/3 et f(-5) = 0 f(-5) = 0 ⇒ x2 = -5 ; f(x2) = 0
La fonction affine se présente sous la forme y = ax + b
Calculons d’abord a et b
Déterminons le vecteur directeur (a)
a = [f(x2)- f(x1)]/[ x2- x1] ⇒ [0 – 4/3]/[-5 - 0] ⇒ (- 4/3)/-5 = - 4/-15 ⇒ a = 4/15
Déterminons maintenant b
On sait que y(x) = ax + b : il revient à notre gré de choisir une des dedeux images pour trouver b f(-5) = 0 ⇒ 0 = (4/15)(-5) + b ⇒ b = 20/15
d’où l’équation y(x) = (4/15)x + 20/15 ⇒ y(x) = 0,26x + 1,33

II) Soit a une équation A = x – 1
1) Calculons la valeur de x avec laquelle A = 0
A = x – 1 ⇒ x – 1 = 0 ⇒ x = 1
donc 1 est la solution de cette équation

2) Calculons a²
(x – 1)² = (x – 1) (x – 1) = x² - 2x + 1
3) On considère A² = B ; montrons que B’ = 2A
Comme A² = (x – 1)² = (x – 1) (x – 1) = x² - 2x + 1
Or A² = B = x² - 2x + 1 ⇔ B’ = (x² - 2x + 1)’
La propriété de dérivé nous enseigne que la dérivé d’une somme est la somme des dérivés alors en appliquent cette propriété on aura
(x² - 2x + 1)’ = (x²)’ - (2x)’ + (1)’
De la appliquons la propriété qui suit xn = n×xn-1 et la dérivé d’une constante est nulle
(x²)’ = 2x ; - (2x)’ = - 2 et (1)’ = 0 ⇒ (x² - 2x + 1)’ = 2x – 2
Après la factorisation on obtient 2(x – 1)
B’ = (x² - 2x + 1)’ = 2(x – 1) , alors que a = (x – 1) donc
B’ = (x² - 2x + 1)’ = 2(x – 1) = 2A d’où B’ = 2A
4) Soit à montrer que la fonction B’ est affine
On sait que la fonction affine se présente par l’équation y = ax + b En partant par la comparaison on aura
Y = B’ ⇔ ax + b = 2x – 2 ⇒ ax = 2x ⇒a = 2 ; b = 2
Donc B’ est une fonction affine qui a pour a = 2 et b = 2