A) Activités numériques
I_On donne α= 1+ √52 et 2,236< √5 <2,237.
1) _ Ecris l’inverse de α sans radical au dénominateur.
Compare l’inverse de α et α - 1.
2) _ En utilisant la réponse de la question précédente, démontre que α2 = α + 1.
3) _ Donne un encadrement de l’inverse de α par deux nombres décimaux consécutifs d’ordre 2.
4) _ Donne un encadrement du carré de α par deux nombres décimaux consécutifs d’ordre 2.
II_ Une enquête menée dans une classe de troisième de 60 élèves pour connaitre leur année de naissance a donné les résultats suivants : 04 élèves sont nés en 1993 ; 24 élèves sont nés en 1994 ; 20 élèves sont nés en 1995 ; 12 élèves sont nés en 1996.
1_ Quel est le pourcentage d’élèves nés en en 1994 ?
2_ a) Justifie que la mesure de l’angle au centre qui représente le nombre d’élèves nés en 1993 sur un diagramme circulaire est 24°.
b) Construit le diagramme circulaire de cette série statistique.
B) Activités géométriques
ABC est un triangle rectangle en A tel que : AC= 4 et BC = 8.
1) Calcule cos(ACB) et déduit la mesure de l’angle ACB. Ensuite, calculer AB.
2) Dans le triangle ABC, le point H est tel que la droite (AH) est perpendiculaire à la droite (BC).Le point I est le centre du cercle (c) de diamètre [AC].Démontre que le point H appartient à (c).
3) La parallèle à la droite (BC) passant par A coupe le cercle (c) en P. Démontre que mes(APH) =60°.
4) La parallèle à la droite (AC) passant par H coupe la droite (AB) au point N. Calcule NH sachant que BH = 6.
- Activités numériques
- On donne α=1+√5/2 et 2,236<√5<2,237
- Ecrivons 1/α sans radicale au dénominateur
On a : α=1+√5/2
⟹ 1/α = 2/1+√5=2(1+√5)/ (1+√5) (1-√5)=2(1-√5)/1²-√5²
1/α = 2(1-√5)/-4 = -2(1-√5)/2×2 = -1+√5/2
1/α = √5+1/2
Comparons l’inverse de α et α-1 :
On a : α-1 = 1+√5/2-1=1+√5-2/2=√5-2+1/2=√5-1/2
α-1=√5-1/2
Or : α-1=√5-1/2
Donc : α-1=1/α
- Démontrons que α²= α-1 :
On a : α-1 = 1/α
⟹ α-1/1 = 1/α
⟹ α(α-1)=1
⟹ α²- α = 1
⟹ α²= α+1
D’où : α²= α+1
- Encadrons 1/α par deux décimaux d’ordre 2 :
On a : 1/α=√5-1/2 et 2,236<√5<2,237
Ainsi : 2,236-1<√5-1<2,237-1
1,236<√5-1<1,237
Par conséquent : 1/2×1,236<1/2×√5-1<1/2×1,237
D’où : 0,61<1/α<0,62
- Encadrons α² par deux décimaux consécutifs d’ordre 2 :
On a : α²= α+1 et 1/α= α-1
Or : 0,61<1/α<0,62
Soit : 0,61<α-1<0,62
Ainsi : 0,61+2<α-1+2<0,62+2
2,61<α-1<2,62
Mais : α²= α+1
Donc : 2,61<α²<2,62
- Les résultats de l’enquête menée dans la classe de 3èmede 60 élèves sont réunis dans ce tableau
|
Modalités |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
Totaux |
|
Effectifs |
4 |
24 |
20 |
12 |
60 |
- Le pourcentage des élèves nés en 1994 : il s’agit de la fréquence de la modalité ≪1994≫;
On a : 24/60=4×6/10×6=4/10=0,4=40%
- a) Justification de l’angle de 24° pour la modalité ≪1993≫ sur un diagramme circulaire :
On a : 60 élèves → 360°
4 élèves→ X }⟹ X=4×360/60=4×36/6=4×6×6/6=4×6=24
Donc : X=24°
b) Diagramme circulaire de la série statistique :
Considérons le tableau suivant :
|
Modalités |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
Totaux |
|
Effectifs |
4 |
24 |
20 |
12 |
60 |
|
Mesure du secteur circulaire |
24° |
144° |
120° |
72° |
360° |
(Le coefficient de ce tableau de proportionnalités est : 360/60=6)
Diagramme :
- Activités géométriques
ABC est un triangle rectangle en A. AC=4 te BC=8.
Construction :
- Calcul de CosACB=CosC=AC/BC=4/8=4×1/4×2=1/2 ;
CosACB=1/2
Or on sait que : Cos60°=1/2
Donc : mesACB=60°
Calcul de AB : SinC=AB/BC=AB/8 et SinC= Sin60°=√3/2
Donc : AB/8=√3/2
⟹AB=8√3/2=4√3
AB=4√3
Ou encore : ABC étant un triangle rectangle en A,
On a: BC²=AB²+AC²
⟹AB²= BC²- AC²=8²-4²=64-16=48
AB²=48 ⟹ AB=√48=√16×3=4√3
AB=4√3
- Dans ABC : (AH)perpendiculaire(BC). I est le centre du cercle (c) de diamètre [AC].
Démontrons que H appartient à (c) :
On a : (AH)perpendiculaire(BC) donc (AH) est une hauteur du triangle ABC.
I est le centre du cercle (c) de diamètre [AC], donc I est le milieu de [AC].
(Par souci de clarté, je reprends la figure)
Démonstration : Le triangle AHC est rectangle en H car (AH)perpendiculaire(BC). Le cercle de diamètre [AC], l’hypoténuse de AHC, est donc le cercle est circonscrit au triangle AHC et par conséquent H appartient à (c).
- La parallèle à (BC) passant par A coupe (c) en P.
Démontrons que mesAPH=60° :
Les triangles AHC et HAP sont semblables donc les angles C et P sont homologues et par conséquent :
mesP= mesC=60°
mesAPH=60°
(On peut aussi utiliser les triangles IHC et IAP pour aboutir au même résultat)
- La parallèle à (AC) passant par H coupe la droite (AB) au point N :
Calculons NH :
Dans le triangle BAC ; (NH)//(AC), donc :
NH/AC=BH/BC ⟹ NH/4=6/8=BN/BA
Ainsi: NH/4=6/8 ⟹ NH=4×6/8=3
NH=3