A) Activités numériques
I) On donne les X et Y tels que : X = a/√3−√2et Y = √3+√2; a étant un nombre réel.
Calculer a pour que X soit opposé de Y.
II) f est l’application affine définie par : f(x) = (4√2−6)+√27.
1) Comparer 4√2 et 6.
2) f est- elle croissante ou décroissante ?
3) Ranger par ordre croissant f (3/2) ; f (2/5) ; f (2/3) et f(2).
III) Un marchand de volaille achète 100 pintades dont certains coutent 300 Francs l’unité et d’autres 400 Francs l’unité.
1) Quelle somme minimale pourrait-il dépenser ?
2) Quelle somme maximale pourrait-il dépenser ?
3) Soit S la somme effectivement dépenser. Ecrire un encadrement de S. Quelle est l’amplitude de cet encadrement ?
4) Sachant que la somme effectivement dépensée est de 34000 Francs, donner le nombre de pintades à 300 Francs et le nombre de pintades à 400 Francs qui ont été achetées.
B) Activités géométriques
Dans un plan muni d’un repère ortho normal, on donne les points A, B et C de coordonnées respectives (6 ; -1), (2 ; -2) et (5 ; 3).
1) Placer les points A, B et C.
2) Montrer que les vecteurs AB et AC sont orthogonaux.
3) Calculer les distances AB, AC et BC. Quelle est la nature du triangle ABC ?
4) Soit (c) le cercle circonscrit au triangle ABC. Déterminer les coordonnées du point K, centre de ce cercle.
Calculer son rayon.
5) Calculer le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle ABC.
A) Activités numériques
- On donne les réels X et Y tels que : X=a/√3−√2et Y = √3+√2 ; aϵâ„
Calculons a pour que X soit l’opposé de Y :
On a : X est l’opposé de Y
⟹X+Y=0
⟹ a/√3−√2+ (√3+√2)=0
⟹ a/√3−√2 = -(√3+√2)
⟹ a = -(√3+√2) (√3−√2)
⟹ a =-[(√3)² - (√2)²]= -(3-2)=-1
a= -1
- f est une application affine telle que :
f(x) = (4√2−6) +√27
- Comparons 4√2 ???????? 6 :
On a : (4√2)²=16×2=32 et 6²=36
Or : 32 < 36
Donc 4√2 < 6
- Sens de variation de f :
f(x) = (4√2−6)+√27
Le coefficient est a=4√2-6
Or : 4√2-6< 0
⟹ a < 0 et par conséquent : f est décroissante
- Rangeons par ordre croissant :
f (3/2) ; f (2/5) ; f (2/3) et f(2)
On a : f étant décroissant donc :
Pour tous u et v si u < v alors f (u)>f (v)
si u >v alors f (u)
Or : 2 >3/2 > 2/3 > 2/5
Donc : f(2) < f(3/2) < f(2/3) < f(2/5)
- Désignons par X le nombre de pintades vendu à 300f l’unité et par Y celui des pintades de 400f l’unité.
- Le marchand achète 100 pintades ;
Donc : X+Y=100 (1)
- Le prix des 100 pintades est : s=300X + 400Y (2)
- Somme minimale : en achetant seulement les pintades de 300f unité sa dépense est minimale.
C’est-à-dire :
Dans (1) Y=0 et X=100
Dans (2)S=300×100 + 400×0 = 30.000
Smin=30.000f
Somme maximale : avec le même raisonnement ;
On a :
Dans (1) Y=100 et X=0
Dans (2) S=300×0 + 400×100= 40.000
Smax=40.000f
Encadrement de la somme effectivement dépensée :
On a: Smin≤ S≤Smax
Donc: 30.000≤ S ≤40.000
Amplitude: 30.000 ≤ S ≤40.000⟹S ϵ[30.000;40.000]
L’amplitude est: 40.000-30.000=10.000f
Pour S=34000 trouvons X et Y:
On a :
{X+Y=100(1)
{300X + 400Y=34000 (2)
Après simplification de (2) ; on obtient:
{X+Y=100 (1)
{3X + 4Y=340 (2)
Dans (1): Y=100-X (1)
Dans (2): 3X + 4(100-X)=340
3X+400-4X = 340
3X-4X = 340-400
-X = -60
X=60
Dans (1) : Y=100-60=40
S = {60;40}
Donc le marchand a payé 60 pintades à 300f l’unité et 40 pintades à 400f l’unité
B) Activités géométriques
Dans un plan muni d’un repère ortho normal, on donne les points A, B et C de coordonnées respectives (6 ; -1), (2 ; -2) et (5 ; 3).
- Plaçons les points A, B et C
- Montrons que les vecteurs AB et AC sont orthogonaux
????????⃗ (x ; y) et ????????⃗ (x’ ; y’) sont orthogonaux si : xx’ + yy’ = 0
On a: ????????⃗ (xB - xA ; yB - yA)
⟹ ????????⃗ (2 - 6 ; -2 + 1)
⟹ ????????⃗ (-4 ; -1)
Et
????????⃗ (xC - xA ; yC - yA)
????????⃗ (5 - 6 ; 3 + 1)
????????⃗ (-1 ; 4)
xx’ + yy’ = 0
⟹ -4 × (-1) × + (-1) × 4= 0
⟹ 4 – 4 = 0
????????⃗et ????????⃗sont-ils orthogonaux?
D’où ????????⃗ et ????????⃗ sont orthogonaux
- Calculons les distances AB ; AC et BC
AB=√(xB - xA)² +(yB-yA)2=√(-4)2+ (-1)2=√17
AB=√17
AC=√( xC - xA)² +(yC-yA)2=√(-1)2+ (-4)2=√17
BC=√(xC - xB)² +(yC-yB)2=√(5 - 2)2+ (3 - 2)2=√34
BC=√34
D’où ABC est un triangle est rectangle en A
- Déterminons les coordonnées du point K, centre de ce cercle.
K milieu de BC, car ABC est un rectangle en A
{xK= xB + xC /2 ⟹ {xK= 2 + 5/2 = 7/2
{yK= yB + yC /2 ⟹ {yK= 3 - 2 /2 = 1/2
⟹ K(7/2 ; 1/2)
Calculons son rayon r :
r=BC/2 = √34/2 = 2,91
r=2,91
Calculons le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle ABC
On a:
SinB = AC/BC = √17/√34 = √17/√2 × 17 = 1/√17 = √2/2
SinB=√2/2
CosB = AB/BC = 17/√34 = √17/√2 × 17 = 1/√17 = √2/2
CosB=√2/2
TanB = √2/2/√2/2 = 1
TanB=1