A) Activités numériques
1) soit la fonction rationnelle f(x)=(x+4)÷(3−2x)
a)Déterminer l’ensemble de définition de f.
b) Calculer f (√2).
c)Résoudre dans R l’équation : f(x)=√2.
2) comparer les nombres suivants : a) 4√10 et 9√2 ; b) 14 - 6√5 et 3 - √5 .
B) Activités géométriques
On considère un triangle ABC rectangle en A tel que : AB=3cm et AC=4cm.
1) Calculer BC.
2) On place un point K entre A et C tel que : AK= x.
La droite passant par K et parallèle à (AB) coupe (BC) en M.
a)Exprimer en fonction de x les longueurs des segments [KC], [MC], [BM] et [KM].
b) Pour quelle valeur de x le périmètre du trapèze AKBM est égal à 20cm ?
A) Activités numériques :
1) a) Déterminons l’ensemble de définition de f :
3 – 2x ≠ o ⟹ x ≠ 3÷2 donc Df = â„− {3÷2}
b) Calcul de f(√2 ) :
f(√2 ) = √2 +4 ÷ 3−2√2 = (√2 +4)(3+2√2 ) ÷ (3−2√2 )(3+2√2 ) = 16 + 11√2
D’où f(√2 ) = 16 + 11√2 .
c) Résolution de l’équation f(x) = √2 :
f(x) = √2 ⟹ ????+4 ÷ 3−2???? = √2
⟹ x + 4 = 3√2 – 2x√2
⟹ x = −4+3√2 ÷ 1+2√2
D’où x = 16−11√2 ÷ 7
2) Comparaison des nombres :
a) 4√10 et 9√2 :
On a : (4√10)2 = 160 et (9√2)2 = 162
160 < 162 ⟹ 4√10 < 9√2.
b) 14 – 6√5 et 3 – √5 :
On a : (3 – √5)2 = 14 – 6√5 or 3 < 1 + √5 ⟺ 3 – √5 < 1 ⟹ (3 – √5)2 < 3 – √5
D’où 14 – 6√5 < 3 – √5.
B) Activités géométriques :
AB = 3 cm ; AC = 4 cm et AK = X
1) Calcul de BC :
D'après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 ⟹ BC = √25
D’où BC = 5 cm.
2) a) Expressions de KC, MC, BM et KM en fonction de x :
Pour KC : AC = AK + KC ⟹ KC = AC – AK = 4 – X
KC = 4 – X
Pour MC : D’après le théorème de Thalès : ???????? ÷ ???????? = ???????? ÷ ????????
⟹ MC = ???????? × ???????? ÷ ???????? = 5 × (4−????) ÷ 4
D’où MC = 5 ÷ 4 × (4 – X)
Pour BM : BC = BM + MC ⟹ BM = BC – MC = 5 – 5 ÷ 4 × (4 – X)
BM = 5 ÷ 4 X
Pour KM : D’après le théorème de Thalès : ???????? ÷ ???????? = ???????? ÷ ????????
⟹ KM = ???????? × ???????? ÷ ???????? = 3 × (4−????) ÷ 4
D’où KM = 3 ÷ 4 (4 – X) .
b) Calcul de la valeur de X pour la valeur donnée du périmètre du trapèze AKBM :
Le périmètre du trapèze AKBM est : P = AK + AB + BM + KM = X + 3 + 5 ÷ 4 X + 3 ÷ 4 (4 – X)
Soit P = 3 ÷ 2 X + 6 ⟹ 3 ÷ 2 X = P – 6 ⟹ 3X = 2(P – 6)
Donc X = 2(????−6) ÷ 3
Pour P = 20 cm, on a :
X = 2(20−6) ÷ 3 = 9,33 cm, impossible parce que K est un point du segment [AC] ⟺ AK < AC ⟺ X < 4