A) Activités numériques et géométrique
I) Trouver les dimensions d’un champ rectangulaire sachant que si l’on augmente la longueur et la largeur de 2m, l’aire du champ augmente de 84m², tandis que si l’on augmente la largeur de 3m et diminue la longueur de 5m, l’aire diminue de 31m².
II) On donne les réels a et b tels que :
a =3− √2/5 et b =−1/3+ √2.
a) Calculer a² et 1 + b.
b) Montrer que les réels a et b sont opposés.
c) Ecrire le plus simplement possible, les réels a, b et c. On donne :
a = 2² × 2² × 3²/23 × 2 ×24
b =(2 + 1/3 ) / 14/5
c = a x b
III) On donne les expressions suivantes :
1) Développer, réduire et ordonner A et B.
2) Décomposer A et B en produits de facteurs du premier degré.
A = - x² + 4 + (x – 2)(2x – 1) + (x – 2)²
B = (2x – 5)² – (4x -10)(3x + 2)
B) Activités géométriques
1) Construire un triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 3cm et BC = 6cm.
Soit D le symétrique de B par rapport à la droite (AC). Trouver que BD = 6cm et CD = 6cm.
2) Soit M un point qui se déplace sur le segment [BD]. On appelle x la longueur du segment [DM].
a) Entre quelles valeurs peut varier x ?
b) Exprimer BM en fonction de x.
3) On projette M en I sur le segment [CD], parallèlement à la droite (BC). Prouver que DI = x.
A) Activités numériques et géométrique
- Trouvons les dimensions d’un champ :
Si x et y désigne respectivement la longueur et la largueur du champ x × y est alors l’aire du champ rectangulaire.
En augmentant la longueur et la largeur de 2m on obtient comme suit :
{x + 2
{y + 2
{(x + 2)(y + 2) = xy + 84
=> xy + 2x + 2y + 4 = xy + 84
=> x + y = 40 (E1)
En augmentant la largeur de 3m et en diminuant la longueur de 5m on obtient comme suit :
{x - 5
{y + 3
{(x - 5)(y + 3) = xy – 31
=> xy + 3x - 5y – 15 = xy – 31
=> 3x – 5y = - 16 (E2)
Résolvons le système d’équation (E1) et (E2) :
{x + y = 40 {x = 40 - y
{3x – 5y = -16 {3(40 - y) – 5y = -16
=> 3 × 40 - 8y = -16
=> 136 = 8y
=> y = 17
=> x = 40 – 17
=> x = 23
D’où le champ à pour longueur 23m et pour largeur 17m.
- a) Calculons a² et 1 + b
a²=(3− √2/5)² = 9 - 2 × 3√2 + 2/25 = 11 - 6√2/25
a²=11 - 6√2/25
1 + b= 1 - 1/3 + √2 = 1 - 3 - √2/7 = 7 - 3 - √2/7 = 4 + √2/7
1 + b = 4 + √2/7
b) Montrons que a et b sont opposés
a et b sont opposés si :
a= -b or -b= 1/3+√2 = 3 - √2/9 – 2 = 3 - √2/7
Donc -b est différent de a alors cette question n’a pas de sens a = 3 - √2/7 conviendrait.
c) Simplifions a, b et c
a = 2² × 2² × 33/23 × 2 × 34 = 24 × 33/24 × 34 = 33/34 = 1/3
a= 1/3
b = (2 + 1/3)/14/5 = 7/3/ 14/5 = 7/3 × 5/14 = 5/6
b= 5/6
c = a × b = 1/3 × 5/6 = 5/18
c = 5/18
- 1) Développons, réduisons et ordonnons A et B
A = - x² + 4 + (x – 2) (2x – 1) + (x – 2)²
A = - x² + 4 + 2x² - 5x + 2 + x² - 4x + 4
=> A = 2x² 9x + 10
B = (2x – 5)² – (4x -10) (3x + 2)
B = 4x² - 20x + 25 – 12x² + 22x + 20
=> B = -8X² + 2x + 452)
Décomposons A et B en produits de facteurs du premier degré
A = - x² + 4 + (x – 2) (2x – 1) + (x - 2)²
A = -(x² - 4) + (x + 2)(2x - 1) + (x - 2)²
A = - (x - 2) (x + 2)(x - 2)(2x - 1) + (x - 2) + (x - 2)
A = (x – 2) [- (x + 2) + (2x - 1) + (x - 2)]
A = (x - 2) (2x - 5)
B = (2x – 5)² – (4x -10) (3x + 2)
B = (2x - 5)² - 2(2x - 5)(3x + 2)
B = (2x – 5) [-2(2x - 5)(3x + 2)]
B = - (2x - 5)(4x + 9)
B = (-2x + 5)(4x + 9)
L a perpendiculaire en A à (AB) et le cercle se coupent en C et le triangle ABC sur le triangle demandé.
Considérons la symétrie orthogonale d’axe (AC)
S(AC)
A A Par conséquent : AB = AD = 3 cm
C C BD = 2 × AB = 2 × 3 cm = 6 cm
B D BC = DC = 6 cm
BC DC
AB AD
- a) X peut varier entre 0 et 6 cm
b) Expression de BM en fonction de x
BM = DB – DM = 6 – x
BM= 6 – x
- Prouvons que DI = x Appliquons la propriété de Thalès sur ce triangle. On a : DM/DB = DI/DC
=> DI = DM × DC/DB = X × 6/6 = X
D’où DI = x